У наш час вміння орієнтуватися на місцевості і визначати сторони світу можливо комусь здасться непотрібним. Але з будь-яким з нас може трапитися ситуація, коли правильно визначення сторін горизонту виявиться не просто важливою навичкою, але і допоможе врятувати життя.


Найпростішим способом визначення сторін світла є орієнтування по компасу. Синя стрілка компаса намагається так, що вона завжди показує на північ. Повернувши компас правильно, ви зможете вказати де південь, а де схід. Але компас не відноситься до предметів повсякденного вжитку, тому під рукою його може і не опинитися, тому краще скористатися іншими способами, такими як визначення сторін по сонцю, зіркам, природним прикметам і явищам.

Якщо ви перебуваєте в північній півкулі, вночі вам найлегше буде зорієнтуватися по Полярній зірці. Сузір'я Великий Медведицив вигляді великого ковша знає кожен, воно легко виявляється на ясному нічному небі. Проведіть мислену лінію через передню стінку ковша вгору. Яскрава велика зірка на шляху лінії і буде Полярною зіркою. Відвісна лінія від неї до землі вкаже строго на північ.

Щоб визначити сторони світла по сонцю, увіткніть у землю довгий порожній. Позначте лінією тінь, яку він відкидає. Продовжуйте вимірювати тінь з певним інтервалом часу до того моменту, коли вона стане найкоротшою. Це буде означати, що сонце увійшло в зеніт, і якщо ви повернетеся до нього спиною, то перед вами буде північ, позаду південь, праворуч схід і ліворуч відповідно захід.

Але ясні безхмарні дні в наших широтах бувають далеко не завжди, і сподіватися на чисте небо, зірки або сонце особливо не варто. Однак завжди можна звернутися за підказкою до природи. Вона охоче поділиться своїми знаннями з кожним, хто виявить до неї інтерес. Відомо, що мхи і лишайники ростуть переважно на північній стороні дерев, а ось в спекотні дні у сосен і ялин смолу більш інтенсивно виділяється, навпаки, на південній стороні стовбурів. Гриби більше люблять північні сторони дерев, а ось з південної їх взагалі практично не буває. Південна сторона мурашника завжди більш полога, а ґрунт у великих каменів і валунів на північній стороні виявиться більш вологим, ніж з південної. Перелітні птахи навесні завжди летять на північ, а восени на південь. Ягоди голубики, брусники і журавлини починають дозрівати з південного боку, і висять набагато довше на боці, зверненій до півночі. Сніг довше лежить на північних схилах гір і пагорбів, а південні схили набагато гущавіше заростають травами і деревами. Де б ви не були, будь-яка з цих прикмет зможе дати вам потрібну підказку. Головне не впадати у відчай і пам'ятати, що сонце завжди сходить на сході, а сідає на заході.

Дослідження такого об'єкта математичного аналізу як функція має велике значення і в інших галузях науки. Наприклад, в економічному аналізі постійно потрібно оцінити поведінку функції прибутку, а саме визначити її найбільше значення і розробити стратегію його досягнення.

Дослідження поведінки завжди слід починати з пошуку області визначення. Зазвичай за умовою конкретного завдання потрібно визначити найбільше значення функції або на всій цій області, або на конкретному її інтервалі з відкритими або закритими кордонами.

Виходячи з назви, найбільшим є таке значення функції y (x0), при якому для будь-якої точки області визначення виконується нерівність y (x0). Графічно ця точка буде найвищою, якщо розташувати значення аргументу по осі абсцис, а саму функцію по осі ордин

ат. Щоб визначити найбільше значення функції, дотримуйтеся алгоритму з трьох етапів. Врахуйте, що ви повинні вміти працювати з односторонніми і нескінченними межами, а також обчислювати похідну. Отже, нехай задана деяка функція y (x) і потрібно знайти її найбільше значення на деякому інтервалі з граничними значеннями А

і В.Виясните, чи входить цей інтервал в область визначення функції. Для цього необхідно її знайти, розглянувши всі можливі обмеження: присутність у вираженні дробу, логарифма, квадратного кореня тощо. Область визначення - це безліч значень аргументу, при яких функція має сенс. Визначте, чи є цей інтервал його підмножиною. Якщо так, то переходьте до наступного етапу

. Знайдіть похідну функцію і виріште рівняння, прирівнявши похідну до нуля. Таким чином, ви отримаєте значення так званих стаціонарних точок. Оцініть, чи належить хоч одна з них інтервалу А

, В.Рассмотрите на третьому етапі ці точки, підставте їх значення у функцію. Залежно від типу інтервалу зробіть такі додаткові дії: За наявності відрізка вигляду [А, В] граничні точки входять в інтервал, про це говорять квадратні дужки. Вирахуйте значення функції при х = А і х = В. Якщо відкритий інтервал (А, В), граничні значення є виколотими, тобто не входять до нього. Вирішіть односторонні межі для х  А і х  В. Комбінований інтервал виду [А, В) або (А, В], один з меж якого належить йому, інший - ні. Знайдіть односторонню межу при х, що прагне до виколотого значення, а інше підставте у функцію. Нескінченний двосторонній інтервал (-'+') або односторонні нескінченні проміжки вигляду: [A, +∞), (A,+∞), (-∞; B], (-∞, B). Для дійсних меж А і В дійте згідно з уже описаними принципами, а для нескінченних шукайте межі для х - - і х  + 

відповідно. Завдання на цьому етапі полягає в тому, щоб зрозуміти, чи відповідає стаціонарна точка найбільшому значенню функції. Це так, якщо вона перевищує значення, отримані описаними способами. Якщо задано декілька інтервалів, стаціонарне значення враховується тільки в тому з них, який його перекриває. Інакше розраховуйте найбільше значення за граничними точками інтервалу. Те саме робіть у ситуації, коли стаціонарних точок просто немає.

Додавання і множення - базові математичні операції, що стоять в одному ряду з відніманням, поділом, зведенням у ступінь, та іншими. Комбінуючи ці операції між собою, можна отримати нові, більш складні операції.

Щоб помножити суму на число, перемножте кожне додане з цим числом, отримані числа складіть між собою. Приклад. (a + b + c) * p = a * p + b * p + c * p.Зворотна операція - винесення загального множника за дужку: a * p + b * p + c * p = p (a + b + c) .

Для перемноження двох дужок, що містять в собі суми якихось змінних, існує певна схема. Треба помножити спочатку доданок першої дужки на кожне з доданків другої дужки, скласти отримані результати, потім ту ж операцію виконати з другим і наступними доданками першої дужки. Залишилося скласти отримані числа між собою. Приклад. (a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d.Пам'ятайте, що перемножуються також і знаки перед числами. Твір однакових знаків дає плюс, різних знаків - мінус. Наприклад, (a-b) (c + d) = a * c + a * d-b * c-b * d; (a-b) (c-d) = a * c-a * d-b * c + b * d.Зворотна операція - розкладання суми на множники.

Щоб перемножити три дужки, що є сумами деяких змінних, треба перемножити спочатку будь-які дві дужки, потім отриманий результат помножити на третю дужку. Множення чотирьох і більшого числа дужок відбувається аналогічно. Групуйте дужки так, щоб вважати було зручніше і простіше.

Приватний випадок твору сум - зведення суми в ступінь. Наприклад, (a + b) ^ 2, (c-d) ^ 3, (p-k) ^ 6. Можна уявити зведення в ступінь у вигляді твору декількох однакових дужок і перемножувати їх за правилами, викладеними вище. А можна скористатися формулами скороченого множення, які завжди корисно пам'ятати.

Швидкість течії річки необхідно знати, щоб поставити міні-електростанцію на невелике село або кемпінг. Це потрібно і для розрахунку міцності поромної переправи, і для визначення ступеня безпеки зони відпочинку. Швидкість течії в різних місцях однієї і тієї ж річки може бути неоднакова, і даний метод дозволяє визначити її в конкретному місці. Для організації пляжу необхідно знайти ділянку річки з найбільш повільною течією, а для електростанції - з найпотужнішою. Вам потрібно

Виберіть відповідну ділянку берега, де течія річки прямолінійно і можна відміряти мірний відрізок. Вбийте в землю дерев'яний кіл, і від нього за допомогою землемерного циркуля відміряйте відстань, що дорівнює 50 або 100 м.Мірний відрізок повинен бути паралелений березі (течії) річки і прямолінеєн. Контроль прямолінійності найкраще провести, натягнувши вздовж мірної лінії мотузку, закріплену на кінцях дерев'яними кільцями.

До кожного колу прив'яжіть горизонтальну палицю, так, щоб вона була перпендикулярно мірної лінії і спрямована в бік річки. Ці палиці називаються траверсами і служать для «прицілювання» при замірах. У замірі має брати участь не менше трьох осіб.

Сам процес заміру швидкості відбувається так. Один з учасників бере плаваючий предмет і йде від початку мірної лінії вгору за течією. Другий учасник знаходиться біля кола, який відзначає початок мірного відрізка. Він спостерігає течію річки вздовж візуючої палиці. Третій учасник знаходиться біля кінцевого колу, також спостерігаючи перебіг річки вздовж траверса. Секундомір знаходиться у третього учасника.

Замір починається з переклички, причому починає її третій учасник. Він кричить: «Готовий!», за ним про готовність заявляє другий. Перший оголошує про старт і кидає предмет у річку. Коли предмет співпаде з першим траверсом, другий учасник кричить: «Раз!» .За цим сигналом третій учасник включає секундомір і вимикає його в момент перетину предметом його траверсу

. Знаючи відстань між траверсами і час проходження цієї відстані предметом, вирахуйте середню швидкість течії річки на мірній ділянці за формулою v = s/t, де v - швидкість течії, s - довжина мірної ділянки, t - витрачений час. Для точності виміряйте декілька разів і знайдіть середнє арифметичне значення.