Як побудувати графік заданої функції

Для побудови графіка заданої функції Y = f (X) необхідно провести дослідження даного виразу. Строго кажучи, в більшості випадків мова йде про побудову ескізу графіка, тобто деякого фрагмента. Межі цього фрагмента визначаються граничними значеннями аргументу Х або самого виразу f (X), які можливо фізично відобразити на папері, екрані і

т. д. Насамперед треба з'ясувати область визначення, тобто при яких значеннях х вираз f (x) має значення. Для прикладу розглянемо функції y = x ^ 2, графік якої зображено на рис.1. Очевидно, що областю визначення функції є вся пряма OX. Областю визначення функції y = sin (x) також є вся вісь абсцис (ризи.1

, знизу). Далі визначимо область значень функції, тобто які значення може приймати у значеннях х, що належать області визначення. У нашому прикладі значення виразу y = x ^ 2 не може бути негативним, тобто область значень нашої функції - безліч неотрицательных чисел від 0 д
о нескінченності. Область значень функції y = sin (x) є відрізком вісі OY від -1 до + 1, оскільки синус будь-якого кута не

може бути більше 1.Тепер визначимо чітність функції. Функція є чіткою, якщо f (x) = f (-x) і непарною, якщо f (-x) = -f (x). У нашому випадку y = x ^ 2 функція - чітка, функція y = sin (x) - непарна, тому достатньо досліджувати поведінку цих функцій тільки при позитивних (
негативних) значеннях аргументу. Лінійна функція y = a * x + b не має властивостей чіткості, тому досліджувати подібні функції необхідно

на всій області їх визначення. Наступним кроком буде знаходження точок перетину
графіка функції з осями координат. Вісь ординат (ОУ) перетинається при х = 0, тобто треба знайти f (0). У нашому випадку f (0) = 0 - графіки обох
функцій перетинають вісь ординат в точці (0; 0) .Для знаходження точки перетину графіка з віссю абсцис (нулів функції) необхідно вирішити рівняння f (x) = 0. У першому випадку це найпростіше квадратне рівняння x ^ 2 = 0, тобто х =
0, тобто вісь ОХ також перетинається один раз в точці (0; 0). У разі y = sin (x) вісь абсцис перетинається нескінченне число раз з кроком Пі (ризи.1, знизу). Цей крок називається

періодом функції, тобто функція є періодичною. Для знаходження ектремумів (мінімальних і максимальних значень) функції можна обчислити її похідну. У тих точках, де значення похідної функції дорівнює 0, вихідна функція приймає екстремальне значення. У нашому прикладі похідна функції y
= x ст.12 дорівнює 2х, тобто в точці (0; 0) є єдиний мінімум. Функція y = sin (x) має нескінченне число екстремумів, оскільки

її похідна y = cos (x) також є періодичною з періодом Пі.Після того, як зроблено достатнє дослідження функції, можна знайти значення функції при інших значеннях її аргументу для отримання додаткових точок, через які проходить її графік. Потім всі знайдені точки можна об'єднати
в таблицю, яка і буде служити основою для побудови графіка. Для залежності y = x ^ 2 визначимо такі
точки (0; 0) - нуль функції і її мінімум, (1; 1), (-1; 1), (2; 4), (-2; 4) .Для функції y = sin (x) достатньо буде її нулів - (0; 0), (Пі + n * Пі, 0), максимумів - (Пі/2 + 2 * n * Пі; 1) і мінімумів - (-Пі/2 + 2 * n * Пі; -1). У цих виразах n- ціле число.