Як визначити найбільше значення функції

Дослідження такого об'єкта математичного аналізу як функція має велике значення і в інших галузях науки. Наприклад, в економічному аналізі постійно потрібно оцінити поведінку функції прибутку, а саме визначити її найбільше значення і розробити стратегію його досягнення.

Дослідження поведінки завжди слід починати з пошуку області визначення. Зазвичай за умовою конкретного завдання потрібно визначити найбільше значення функції або на всій цій області, або на конкретному її інтервалі з відкритими або закритими кордонами.

Виходячи з назви, найбільшим є таке значення функції y (x0), при якому для будь-якої точки області визначення виконується нерівність y (x0). Графічно ця точка буде найвищою, якщо розташувати значення аргументу по осі абсцис, а саму функцію по осі ордин

ат. Щоб визначити найбільше значення функції, дотримуйтеся алгоритму з трьох етапів. Врахуйте, що ви повинні вміти працювати з односторонніми і нескінченними межами, а також обчислювати похідну. Отже, нехай задана деяка функція y (x) і потрібно знайти її найбільше значення на деякому інтервалі з граничними значеннями А

і В.Виясните, чи входить цей інтервал в область визначення функції. Для цього необхідно її знайти, розглянувши всі можливі обмеження: присутність у вираженні дробу, логарифма, квадратного кореня тощо. Область визначення - це безліч значень аргументу, при яких функція має сенс. Визначте, чи є цей інтервал його підмножиною. Якщо так, то переходьте до наступного етапу

. Знайдіть похідну функцію і виріште рівняння, прирівнявши похідну до нуля. Таким чином, ви отримаєте значення так званих стаціонарних точок. Оцініть, чи належить хоч одна з них інтервалу А

, В.Рассмотрите на третьому етапі ці точки, підставте їх значення у функцію. Залежно від типу інтервалу зробіть такі додаткові дії: За наявності відрізка вигляду [А, В] граничні точки входять в інтервал, про це говорять квадратні дужки. Вирахуйте значення функції при х = А і х = В. Якщо відкритий інтервал (А, В), граничні значення є виколотими, тобто не входять до нього. Вирішіть односторонні межі для х  А і х  В. Комбінований інтервал виду [А, В) або (А, В], один з меж якого належить йому, інший - ні. Знайдіть односторонню межу при х, що прагне до виколотого значення, а інше підставте у функцію. Нескінченний двосторонній інтервал (-'+') або односторонні нескінченні проміжки вигляду: [A, +∞), (A,+∞), (-∞; B], (-∞, B). Для дійсних меж А і В дійте згідно з уже описаними принципами, а для нескінченних шукайте межі для х - - і х  + 

відповідно. Завдання на цьому етапі полягає в тому, щоб зрозуміти, чи відповідає стаціонарна точка найбільшому значенню функції. Це так, якщо вона перевищує значення, отримані описаними способами. Якщо задано декілька інтервалів, стаціонарне значення враховується тільки в тому з них, який його перекриває. Інакше розраховуйте найбільше значення за граничними точками інтервалу. Те саме робіть у ситуації, коли стаціонарних точок просто немає.