Багатогранники вигинаються

Подивимося на багаткутник з жорсткими сторонами, у вершинах якого поміщені шарніри. Якщо у нього більше трьох вершин, то він може згинатися - довжини сторін далеко не однозначно визначають багатокутник. А що відбувається з багатогранниками в тривимірному просторі? Якщо зафіксувати форму їх граней, чи зможуть вони згинатися?

Виявляється, що іноді можуть, але це дуже рідкісна властивість

Відразу скажемо, що під вигинанням розуміється безперервне вигинання, а не просто те, що багатогранник не однозначно задається своїми гранями. Такий приклад придумати досить легко:

Однак, ще в 1813 році Коші довів, що для випуклого багатогранника навіть така ситуація неможлива: випуклий багатогранник однозначно визначається своїми гранями.

У 1897 році вдалося побудувати приклади багатогранників (наочно це можна уявити як каркас з дроту, відсутність жорстких граней не має значення, оскільки всі вони трикутні і однозначно визначаються ребрами) - октаедри Брікара. Wolfram demonstration

Тільки в 1976 році Конеллі запропонував конструкцію несамопересікуваного невипуклого згинного багатогранника. Дотримуючись його ідей, Штеффен незабаром побудував приклад вигинуваного багатогранника з 9 вершинами (пізніше було доведено, що з меншою кількістю вершин це зробити неможливо). Відео з цим багатогранником розміщено на початку поста, також є Wolfram demonstration.

Обмовимо заздалегідь, що розглядаються багатогранники з трикутними гранями. Це не змінює суті справи, так як у будь-якого вигинуваного багатгранника можна додати ребра, розрізавши межі на трикутники, від чого його згинаність не пропаде. Однак, це спрощує обчислення, так як тепер вся інформація про межі багатогранника міститься в комбінаторній будові і довжинах ребер.

Спробуємо тепер зрозуміти, чому виявилося так складно знайти вигинані багатранники, в той час як для багатокутників це дуже типова властивість. Подивимося на багаткутник з n вершинами. Його форма задається координатами вершин, яких 2n. Ці координати вказують не тільки форму багатокутника, але і його положення на площині. Положення задається 3 координатами (наприклад, пара координат однієї вершини і кут повороту багаткутника вокург неї). Таким чином, виходить система з 2n-3 ступенями свободи, в той час як довжини ребер накладають лише n умов, і при n > 3 виходить 2n-3 > n. Говорячи математичною мовою, імметься n функцій від 2n-3 змінних, що зіставляють набору координат вершин набір квадратів довжин ребер (беруться квадрати, щоб функції вийшли поліноміальними) і при n > 3 образ функції далеко не однозначно задає прообраз.

Проведемо тепер аналогічне обчислення для багатогранників. Форма багатогранника з n вершинами задається 3n-6 параметрами (оскільки повалення багатогранника в просторі задається 6 параметрами). Порахуємо тепер кількість ребер. Нехай їх число дорівнює e. Якщо f - число граней, то 3f = 2e, оскільки до кожного ребру прилягають дві грані, а кожна межа містить 3 ребра. Застосовуючи Формулу Ейлера, отримуємо n-e + 2e/3 = 2, тобто e = 3n-6. Виходить, що число умов, що накладаються на багатогранник в точності дорівнює числу ступенів свободи.

Це не означає, що довжини ребер однозначно задають форму багатогранника. Цілком можливо, у кожного набору довжин ребер буде кілька прообразів серед форм багатогранників, але вони будуть ізольованими (як у прикладі на початку поста), але локально прообраз єдиний. Див. Теорема про неявну функцію. Ціле сімейство прообразів, потрібне для вигинання знайдеться тільки за умови виродженості набору функцій, див. якобіан. Таким чином, для можливості вигинання комбінаторна структура багатогранника повинна задавати вироджену систему рівнянь на довжини ребер і координати вершин, що пояснює рідкість вигинаних багатогранників.

Після побудови прикладів вигинаних багатогранників математики почали вивчати їхні властивості при вигинанні. У 1996 Сабітов відкрив дивовижний факт - вигинуваний багатогранник зберігає об'єм при вигинанні (точніше, він довів більш сильне твердження - обсяг багатогранника є коренем багаточлену, коефіцієнти якого поліноміально виражаються через квадрати довжин ребер). Що примітно, незважаючи на недавність результату, доказ зовсім не складно і зрозуміло студенту-математику 1-2 курсу.

Далі математики почали вивчати багатогранники старших розмірностей. А. Гайфуллін довів аналог теореми Сабітова у всіх розмірностях і побудував приклади вигинаних багатогранників усіх розмірів.

Додаткові матеріали: